Quarta lezione 27-10-2008 Tu, come risolvi?

In questa quarta lezione abbiamo affrontato la questione del "problem solving", allo scopo di comprendere come ciascun individuo procede al fine di risolvere un problema. L'aspetto interessante di questo lavoro è il tentativo di segnare, in un protocollo, le fasi che il cervello segue per giungere al risultato, ponendo attenzione anche ai momenti di difficoltà e dubbio e alle strategie che in tali occasioni il soggetto mette in atto al fine di superarli. Questo esperimento è stato nei nostri gruppi di lavoro, operando cioè tra adulti (una persona fungeva da "cavia", una da facilitatore e le altre due da osservatori-annotatori), ma risulta interessante anche da sperimentare con dei bambini (naturalmente abbastanza grandi per comprendere le richieste del problema, quindi bambini di età superiore agli 8/9 anni). Riporto qui di seguito il problema che ci è stato sottoposto:

Inserisci i cartellini con i numeri nella griglia seguendo le seguenti indicazioni (o enunciati):

• 2 si trova immediatamente a destra di 8 (prima parte dell'enunciato) e direttamente sotto a 4 (seconda parte dell'enunciato);
• 6 si trova immediatamente a destra di 3 (prima parte dell'enunciato) e immediatamente a sinistra di 9 (seconda parte dell'enunciato);
• 7 si trova immediatamente a sinistra di 1 ed esattamente sopra a 5.

Qui sotto riporto le due soluzioni che si possono ottenere:

Nel risolvere un problema di questo tipo è necessario premettere che i numeri non sono indispensabili, infatti, in questo caso, essi sono usati puramente con funzione di etichette, nessuno vieta di sostituirli con dei simboli diversi. Davanti a situazioni "problematiche" nella nostra mente si ha quella che Papert ha definito una "tempesta": nel cervello, cioè si attivano tutta una serie di collegamenti che hanno lo scopo di risolvere il problema. A partire quindi dagli ingredienti (o dati) iniziali del quesito, ogni soggetto mette in atto strategie differenti, al fine di ottenere il piatto (o risultato o prodotto) finale. Se si chiede ad una persona di risolvere il problema sopra presentato, sicuramente nell'arco di qualche minuto essa giungerà al risultato corretto, ma se si parla di bambini i tempi si allungano, perché i meccanismi, che per un adulto sono ormai abituali, sono ancora tutti da costruire per i piccoli allievi. Analizzando i passaggi che il soggetto fa (e che esprime ad alta voce) è possibile, anche per l'insegnante comprendere come in quel momento sta funzionando la mente del soggetto e dove egli può incontrare delle difficoltà e soprattutto perché. Questo fa sì che, con un'osservazione attenta e accurata, unita ad adeguate competenze, l'insegnante possa aiutare l'allievo a trovare e sperimentare strategie consone alle sue abilità. Fondamentale sarà portare l'allievo ad adottare la strategia più efficace, prevedendo l'individuazione di quelli che possono essere detti "blocchetti", ossia all'individuazione per prima cosa di quelle parti degli enunciati che sono legati da relazioni sicuramente vere, indipendentemente dalle altre condizioni poste dal problema, per giungere poi alla loro collocazione nello schema. Ciò che è appena stato detto non esclude però che il bambino possa procedere per prove ed errori, le quali però andranno diminuite con l'esercizio al fine di permettergli di acquisire maggiori competenze nell'area non solo matematica, ma cognitiva in generale.

Terza lezione 20-10-2008 Tra natura, frattali, geometria e numeri

Oggi si è fatto un altro passo all'insegna della scoperta del mondo matematico e il modo migliore per descriverlo, mi sembra quello di prendere una citazione di Galileo: "La natura è un libro scritto in caratteri matematici. [...] La matematica è l'alfabeto nel quale Dio ha scritto l'universo". Queste parole risultano ancor più vere se si esplora il mondo delle figure frattali, che sono presenti in natura e che risultano essere esempi di perfezione sia geometrica che matematica. Queste figure sono particolarmente interessanti perché sono costruite sulla base della ripetizione dello stesso modulo geometrico, costituito dalla forma stessa con cui si presenta la figura. Un esempio di tali figure è il fiocco di neve, la cui forma è anche la stessa costruzione che, ripetuta in scala sempre più ridotta, ne costituisce la struttura interna.

A lezione, oggi abbiamo esplorato questi esempi di perfezione che si trovano in natura, per poi passare  alle realizzazioni umane, che imitano tali principi di regolarità e precisione, tra le quali abbiamo preso in considerazione le figure geometriche di Sierpinski e, nello specifico, il Triangolo di Sierpinski. Sulla base di questa costruzione geometrica, abbiamo poi lavorato ad un'interessante attività laboratoriale nella quale abbiamo creato delle banconote il cui valore fosse espresso utilizzando la simbologia di tali triangoli. Per compiere tale operazione, abbiamo messo in relazione la numerazione in base tre, sperimentata la scorsa lezione, e la struttura triangolare di Sierpinski, che ben si adatta a questo tipo di numerazione, ottenendo così delle banconote particolari e del tutto originali. Sulla base di questa creazione si può poi spaziare con la fantasia al fine di combinare dei piccoli giochi "di commercio", nei quali la moneta da utilizzare sarà quella prodotta con l'attività precedente. Questo tipo di gioco prevede l'utilizzo non solo delle figure frattali, ma anche la comprensione della numerazione in base tre, consentendo al contempo di inventare nuove attività ludico-didattiche.

Seconda lezione 13-10-2008

Ieri c'è stata la seconda lezione del corso di matematica, dopo un anno di completa astinenza da questa materia. Per essere la seconda lezione ho ancora delle difficoltà ad entrare nell'ottica degli strumenti e dei percorsi che verranno seguiti nel corso del semestre, sicuramente una delle cose positive con cui si è cominciato il percorso, è che la matematica non è solo formule e teoria, ma è soprattutto pratica e saper fare. Si inizia fin da subito dunque a creare e a giocare con la logica e la fantasia, senza dimenticare i numeri e le operazioni; già questo punto di partenza, mi pare uno spunto significativo al fine di recuperare la dimensione partecipativa e piacevole della matematica.

Continuando secondo l'impostazione data la prima lezione, il compito di ieri è stato quello di creare con la pasta di sale una rappresentazione grafica della tabellina del 4, trasformata dalla base 10 alla base 3. Per poter giungere a questo prodotto, abbiamo prima di tutto compreso come il nostro attuale sistema di numerazione decimale, sia un sistema posizionale in cui 10 numeri principali (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) si combinano per formare tutte le altre cifre, all'interno delle quali ogni numero assume un valore diverso a seconda della posizione che occupa (ad esempio 10 = 1 decina e 0 unità; 101 = 1 centinaio, 0 decine e 1 unità; si può vedere come il numero "1" assuma un valore diverso a seconda della posizione che occupa nella cifra). Partendo dall'osservazione che il sistema in base 10 deriva dal fatto che l'uomo ha adottato come primo strumento di calcolo il proprio corpo, e in particolare le proprie mani, abbiamo immaginato che cosa sarebbe successo se l'uomo, anziché avere dieci dita, ne avesse avute in totale solo 3?! Beh, il risultato è che avremmo avuto una numerazione basata su tre cifre (0, 1, 2) e sulla loro combinazione. Qui di seguito scrivo quella che è la relazione tra la base 3 e la base 10:

10 (= una decina, ossia gruppo di dieci elementi) = 3 (= una terzina, ossia gruppo di tre elementi)

100 (= un centinaio, ossia gruppo di dieci decine) = 9 (= un nonetto, ossia gruppo di tre terzine)

1000 (= un migliaio, ossia gruppo dieci centinaia) = 27 (= un ventisettetto, ossia gruppo di tre nonetti)

La tabellina del 4 trasformata dalla base 10 alla base 3, risulta invece:

4 in base 10= 11 in base 3 (ossia una terzina e una unità sciolta)

8 in base 10 = 22 in base 3 (ossia due terzine e due unità sciolte)

12 in base 10 = 110 in base 3 (ossia un nonetto, una terzina e zero unità sciolte)

16 in base 10 = 121 in base 3 (ossia un nonetto, due terzine e una unità sciolta)

20 in base 10 = 202 in base 3 (ossia due nonetti, zero terzine e due unità sciolte)

24 in base 10 = 220 in base 3 (ossia due nonetti, due terzine e zero unità sciolte)

28 in base 10 = 1001 in base 3 (ossia un ventisettetto, zero nonetti, zero terzine e una unità sciolta)

32 in base 10 = 1012 in base 3 (ossia un ventisettetto, zero nonetti, una terzina e due unità sciolte)

36 in base 10 = 1100 in base 3 (ossia un ventisettetto, un nonetto, zero terzine e zero unità sciolte)

40 in base 10 = 1111 in base 3 (ossia un ventisettetto, un nonetto, una terzina e una unità sciolta)

Infine, se analizziamo l'etichetta verbale con cui indichiamo i multipli di dieci e le cifre successive al nove, ci accorgiamo che la nomenclatura che adottiamo in Italia, rispetto ad altre culture (sia europee che orientali, in cui, invece, è presente una maggiore semplicità lessicale), presenta delle eccezioni, come per esempio 20 = venti, ossia al segno grafico "20" associamo l'etichetta "venti", nella quale non è immediata l'associazione al due e al doppio di dieci (come invece accade in trenta, quaranta...). Da questo accorgimento ne deriva la consapevolezza che è difficile anche per gli allievi, almeno inizialmente, comprendere questo sistema numerico; sicuramente il fatto di crescere immersi in questa cultura, agevola l'apprendimento della matematica, anche se, in base ad alcuni studi fatti, risulta essere comunque uno dei sistemi più impegnativo per l'apprendimento di questa disciplina. 

Prima lezione 06-10-2008

E' iniziato il corso di "matematiche elementari da un punto di vista superiore" della mia facoltà e il professore, per prima cosa, ha inviato a creare un blog nel quale raccogliere il percorso che verrà fatto in questi mesi sul tema della matematica. Il viaggio che faremo sarà sempre guidato dal motto "Se faccio capisco", per cui essenziale sarà il fare. Le lezioni saranno, infatti, una sorta di laboratorio nel quale si integreranno e mescoleranno i numeri, la realtà concreta e la tecnologia. Tutte le scoperte verranno documentate a livello personale su questo blog e, a livello di gruppo classe, su un sito collaborativo del tipo wiki (come wikipedia), dal nome matelsup1-2.wetpaint.com, in cui saremo proprio noi studenti a creare e mantenere le informazioni in esso contenute. Su questo sito si trovano anche i lavori che verranno eseguiti in gruppo; il mio gruppo si chiama "Gruppo Angels", per cui è in quella sezione che è possibile trovare i lavori relativi ai post che pubblicherò in questo blog.

La prima attività con cui si inizia questo percorso è la costruzione, mediante gli strumenti offerti da siti come myheritage o genopro, del proprio albero genealogico. Questa proposta vede non solo un lavoro di scoperta della propria identità, attraverso il recupero delle proprie origini, e l'attivazione in prima persona del soggetto che deve compiere tale ricerca, ma rappresenta anche un modo per avvicinarsi e per fare avvicinare i nostri futuri giovani allievi, al mondo delle relazioni (che in matematica risultano fondamentali).

Mi permetto però di fare una notazione riguardante l'uso dell'albero genealogico a scuola come strumento per far comprendere ed interiorizzare il mondo delle relazioni matematiche, questa scelta potrebbe risultare svilente e controproducente se, nella classe, ci sono situazioni familiari particolari, tali da poter creare nel bambino delle difficoltà nel tentare di rispondere a questa richiesta dell'insegnante. Ritengo dunque opportuno valutare attentamente questo tipo di proposta sulla base del tipo di classe con cui ci si trova a collaborare e, di conseguenza, anche ad un'attenta conoscenza dei propri allievi e delle loro famiglie.